クエストカウンターで設定できる「マッチング設定」の「パートナー呼び出し不可のルームに入る」にチェックが入っている場合、パートナー呼び出し端末を使用することはできません。

パートナーキャラクターを呼び出す場合には、チェックを外して再度クエストを開始してください。

なお、緊急クエストやストーリークエストなど、設定にかかわらずパートナーキャラクターが参加できないクエストもあります。
クエスト情報にて「パートナー参加」の欄が「不可」となっていないか確認してください。